Να επιλύσετε το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(a=4\), \(\beta=2\sqrt{2}\) και \(\widehat{B}=30^\circ\). Ποια είναι η σωστή πλήρης λύση;
Από τον Νόμο των Ημιτόνων,
\[\frac{a}{\operatorname{ημ}(A)}
=
\frac{\beta}{\operatorname{ημ}(B)}.\]
Άρα
\[\frac{4}{\operatorname{ημ}(A)}
=
\frac{2\sqrt{2}}{\operatorname{ημ}(30^\circ)}
=
4\sqrt{2}.\]
Επομένως
\[\operatorname{ημ}(A)
=
\frac{\sqrt{2}}{2}.\]
Άρα υπάρχουν δύο δυνατές τιμές:
\[\widehat{A}=45^\circ\]
ή
\[\widehat{A}=135^\circ.\]
Για \(\widehat{A}=45^\circ\),
\[\widehat{\Gamma}
=
180^\circ-45^\circ-30^\circ
=
105^\circ.\]
Από τον Νόμο των Ημιτόνων,
\[\frac{\gamma}{\operatorname{ημ}(105^\circ)}
=
4\sqrt{2}.\]
Άρα
\[\gamma
=
4\sqrt{2}\operatorname{ημ}(105^\circ)
=
2(\sqrt{3}+1).\]
Για \(\widehat{A}=135^\circ\),
\[\widehat{\Gamma}
=
180^\circ-135^\circ-30^\circ
=
15^\circ.\]
Άρα
\[\gamma
=
4\sqrt{2}\operatorname{ημ}(15^\circ)
=
2(\sqrt{3}-1).\]
Επομένως υπάρχουν δύο τρίγωνα με λύσεις
\[\widehat{A}=45^\circ,\quad
\widehat{\Gamma}=105^\circ,\quad
\gamma=2(\sqrt{3}+1)\]
ή
\[\widehat{A}=135^\circ,\quad
\widehat{\Gamma}=15^\circ,\quad
\gamma=2(\sqrt{3}-1).\]