Να επιλύσετε το τρίγωνο \(ΑΒΓ\), αν
\[\alpha=5,\qquad
\beta=8,\qquad
\widehat{\Gamma}=60^\circ.\]
Ποια είναι η σωστή επίλυση του τριγώνου;
Από τον Νόμο των Συνημιτόνων,
\[\gamma^2
=
\alpha^2+\beta^2
–
2\alpha\beta\operatorname{συν}(\widehat{\Gamma}).\]
Άρα
\[\gamma^2
=
5^2+8^2
–
2\cdot5\cdot8\operatorname{συν}(60^\circ)\]
\[=
25+64-40\]
\[=
49.\]
Επομένως
\[\gamma=7.\]
Χρησιμοποιούμε τον τύπο
\[\operatorname{συν}(\widehat{A})
=
\frac{\beta^2+\gamma^2-\alpha^2}{2\beta\gamma}.\]
Άρα
\[\operatorname{συν}(\widehat{A})
=
\frac{8^2+7^2-5^2}{2\cdot8\cdot7}\]
\[=
\frac{88}{112}\]
\[=
\frac{11}{14}.\]
Επομένως
\[\widehat{A}\approx38.2^\circ.\]
Τέλος,
\[\widehat{B}
=
180^\circ-60^\circ-38.2^\circ\]
\[=
81.8^\circ.\]